为什么雨滴落下不会砸死人？《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律

　　为什么无论多高的雨滴落下来都有一个不大的末速度？普通物理课会告诉学生，因为雨滴在下落时会受到与速度正相关的空气阻力，导致雨滴的下落末速度趋于某个定值。但这个阻力与速度的关系是怎样的呢？一百七十年前，爱尔兰物理学家斯托克斯对类似的问题产生了兴趣，并提出了在小雷诺数条件下流体阻力与速度成正比的斯托克斯定律。斯托克斯当时又是如何推导的呢？

　　10月6日14时，《张朝阳的物理课》第二百二十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从流体力学最基本的纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations，下文简称NS方程）出发，“马拉松”式地一步步推导出斯托克斯定律，课堂全程持续近5个小时。

　　

　　回顾雨滴下落速度的求解

　　假设有一个密度为ρ_d的球形雨滴，它在密度为ρ_a的空气中从静止开始下落，这个过程中雨滴会受到三个力：向下的重力G、向上的空气浮力F_{浮}和向上的空气阻力Fₛ，其中空气阻力满足斯托克斯定律，将它们依次写出来是

　　

　　注意看最后一个式子所描述的空气阻力，它正是斯托克斯定律所给出的表达式，其中μ是空气的粘滞系数，R是雨滴半径，v是雨滴相对空气的速度，这三个量的一次方相乘再乘以6π就得到了球形物体在不可压缩定常流体中所受到的阻力。本节课的任务，正是从基本的流体力学最基本的NS方程出发，推导出斯托克斯定律。不过在进入正题前，先看看斯托克斯定律在雨滴下落情景中发挥的作用。

　　

　　(对雨滴的受力分析)

　　由刚刚分析出的三个力可以写下雨滴的运动方程

　　

　　为了化简方程，可以将系数用两个字母代替

　　

　　这样就能把雨滴运动方程化简为

　　

　　可以猜测这个微分方程的解具有如下形式

　　

　　代回原方程，得到

　　

　　再考虑到初始条件，即雨滴在零时刻静止，可以得到

　　

　　所以

　　

　　和自由落体的速度线性增长不同的是，在考虑空气阻力的情况下，雨滴的下落速度在t→∞时无限逼近一个有限值，它就是雨滴下落的最终速度